Dynamischer Systeme

In der Mathematik , insbesondere in der Theorie der Dynamischer Systeme bezeichnet ein ALS – Iteration sterben Wiederholt anwendung Thunders Elbe Funktion, auch Bildung von sterben

{\ displaystyle f ^ {n}: = f \ circ f \ circ \ ldots \ circ f}

Funktion {\ displaystyle f \ Doppelpunkt X \ bis X} auf einem Raum {\ displaystyle X}.

Theory of Dynamics Systemes beschäftigt sich mit dem Langzeitverhalten der Umlaufbahnen {\ displaystyle \ links \ {f ^ {n} (x) \ rechts \}} von Punkten {\ displaystyle x \ in X} unter Iterationen.

Beispiel

Man betrachtete die quadratische Funktion {\ displaystyle f \ Doppelpunkt \ mathbb {R} \ zu \ mathbb {R}}

{\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}.

Dann ist es {\ displaystyle f ^ {n} (x) = x ^ {2 ^ {n}}} (nicht zu verwechseln mit {\ displaystyle (f (x)) ^ {n} = x ^ {2n}}) und du kannst das Langzeitverhalten unterschiedlicher Umlaufbahnen untersuchen: für {\ displaystyle \ vert x \ vert <1} konvergiert {\ displaystyle f ^ {n} (x)}gib den Fixpunkt 0, für{\ displaystyle x> 1} vergoldet {\ Display \ glue _ {n \ Infty} f ^ {n} (x) = \ Infty \}, für {\ displaystyle x = 1} ist konstant und für {\ displaystyle x = -1} blies die folgende Iteration ständig.

Andere Schreibweise

Wegen der genannten Verwechslungsmöglichkeit findet sich gelegentlich in der Literatur für sterben Iteration sterben Schreibweise

{\ displaystyle f ^ {\ langle 0 \ rangl}: = \ mathrm {id} _ {X}} und {\ displaystyle f ^ {\ langle {n + 1} \ rangl}: = f \ circ f ^ {langle n \ rangl}}

für die Potenz

{\ displaystyle f ^ {0}: = 1} und {\ displaystyle f ^ {n + 1}: = f \ cdot f ^ {n}}

Für die Ableitung

{\ displaystyle f ^ {(0}}: = f} und {\ displaystyle f ^ {(n + 1)}: = (f ^ {n}}}

Dann ist es beispielsweise

{\ displaystyle \ sin ^ {\ langle -1 \ rangle} = \ arcsin \ ,,}

{\ displaystyle \ sin ^ {2} + \ cos ^ {2} = 1}

und

{\ displaystyle \ sin ^ {(2)} = – \ sin}

Numerische Mathematik

In der numerischen Mathematik bezeichnet Iteration Eine Methode, sich der Exakt Lösung Eines Rechenproblems schrittweise anzunähern (sukzessive Annäherungen ) . Sie besteht in der wiederholten Anwendung desben Rechenverfahren.

Die Ergebnisse eines Schrittes galten als Ausgangswerte des jeweils nächsten Schrittes. Erobere die Folge der Ergebnisse . Wenn Die differenza zum vorangegangenen Rechenschritt kleiner als der Fehler ist Akzeptiert, Dann ist das Plan Ergebnis hinreichend genau Bestimmt, und das Elle Verfahren beten WIRD. Eines der Bekanntesten ist das Newton-Verfahren . Manchmal setzt man im nächsten Schritt Ergebnisse aus zwei oder mehr vorausgehenden Schritten an, zum Beispiel der Regula falsi .

Die Geschwindigkeit der Konvergenz ist ein Maß dafür, die Iteration Methode brauchbar.

Anwendung der Methode

• Wurde Iteration in vertikaler Angewandte, in Denen das Plan Ergebnis sie nicht in geschlossenem Formular berechnen Läßt, zum beispiel bei der Kepler Helenglei Chung , wo Berechnung der Oberflächenform Eines asphärischen Linse oder die Wärmeverteilung Auf eine Leiter Platte.
• Lineare Gleichungssysteme Systeme verschmelzen bis zu den idealen Voraussetzungen iterativ solo.
• Bei Anwendungsproblemen can Eingabedaten fehlerbehaftet sein, Dann ist die „EXAKTA Lösung“ des gegebenen Probleme nicht notwendigerweise besser als Ihre Annäherungen sterben. Das Iterationsverfahren Wird bevorzugt, Wenn Es Eine gute Näherung schneller liefert, als sterben Berechnung wo EXAKTA Lösung braucht.
• Manche Funktionen auf Taschenrechnern oder auch Fraktale wurden iterativ berechnet.

Beispiel: Bestimmung von Nullstellen einer stetigen Funktion

Approximationen hängt Nullstellen Einer Dichtung Igen Funktion Sind, soferne überhaupt existiert Eine iterativ oft Rascher gefunden als andere Durch algebraische Methoden (ETWA als geschlossener Ausdruck)

1. Man hört zwei Näherungswerte {\ displaystyle x_ {1}, \, x_ {2}} Für die Nullstelle der Funktion {\ displaystyle f} und svar so, dass {\ displaystyle f (x_ {1}) \ cdot f (x_ {2}) <0} ist.
2. Die Stleichung der Durchfahrt ist festgelegt {\ displaystyle (x_ {1}; f (x_ {1})}} und {\ displaystyle (x_ {2}; f (x_ {2})}}geborene Sekante auf.
3. Die Schnittstelle {\ Display x_ {3} = x_ {1} – {\ frac {x_ {2} -x_ {1}} {f (x_ {2}) – f (x_ {1})}} \ cdot f (x_ {1})} Es ist mit der X-Achse ein „besserer“ Näherungswert für die gesuchte Nullstelle von {\ displaystyle f}.
4. Man wiederholt, die beide einen guten Ruf haben.Schritte so lange, die Nullstelle mit bestimmter Genauigkeit gefunden ist ( Regula falsi ).

Informatik

Neben der mathematischen iterativen Problemlösung wird in der Informatik auch von Iteration gesprochen, wenn

• Ein Zugriff Iterativ, the currently requirements, the required requirements . Hierbei STAND den Begriff Datum Struktur für Kunstsammlungen von Objekten , Objektreferenzen oder Typ Datum . Ein (i allgemeiner Züchter) Zeigerauf diese Objekte erwähnt sich Iterator . In der Regel Handelt es sich um Arrays , Liste , Schlüssel-Wert-Paare (Karten – Hash ) oder Mengen (Sets).
• ein Anwendungsblock wird wieder ausgeführt (der sogenannte „Schleifenrumpf“); Jede Ausführung ist eine Iteration der Schleife .

Linguistik

Die Sprachliche Iteration bezeichnet Wiederholung von Wortteilen Wie bei den Urururgroßmutter .

Softwareentwicklung

In der Software – Technik bezeichnet Eine Iteration EINES einzelner Entwicklungszyklus, je nach Vorgehensmodell beginnend mit Planung, Analyse oder Entwurf, endend mit Implementierung, Test oder Wartung. Ihre besondere Aufgabe ist es, sich auf extreme Programmierung und strategische Rationalisierung zu konzentrieren . Bei Scrum (Agiles Projektmanagement) erhielt er oft einen Prozess-Editor für den Prozess der Entwicklung von Software zum Einsatz. Hier finden Sie Feedback-Schleifen in allen Phasen der Planung, Durchführung, Überprüfung und Anpassung.

Geschichtswissenschaft

In der Geschichtswissenschaft ist die Iteration die wiederholte Ausübungsstunde der Europäischen Union in der Römischen Republik . Nach dem Mos maiorum war die Iteration in Ordnung. Bei Konsulat kombiniert mehrfaltige, in Ausnahmefällen auch unmittelbar aufeinanderfolgende Bekleidung des Amtes allerdings schon seit der frühen Republik vor; seit der Verfassungsreform Dezember Diktator Sulla aus dem Jahr 82 v. Chr. Krieg stirbt Wiederholt Bekleidung Dezember Konsulat erst nach Zehn JAHREN ERLAUBT. Das Iterationsverbot Krieg NEBEN DEM Kollegialitäts – und sie Annuitätsprinzip das wichtigste Mittel, eine gefährliche Machtfüllung von Amtsträgern zu verhüten.

Insbesondere in der Krise , wo Republic Nocken Iteration Wiederholt vor stirbt bekanntestes beispiel Ist Gaius Gracchus , wo ich in drei JAHRE Hintereingang Ander zum Volkstribunen wählt Lassen Will, Gaius Marius , wo das Konsulat in Fünf aufeinanderfolgenden JAHREN (. 104 bis 100 V CHR) und insgesamt sieben Template ausübte, Eulen Gaius Iulius Caesar , wo das in der Botschaft jAHREN 59, 48, 46, 45 und 44 v. Chr. bekleidete. In der Kaiserzeit ab Augustus Krieg sterben Iteration des Konsulats Zeichen für Eine herausgehobene soziopolitische Stellung. Unmittelbar aufeinanderfolgende Konsulate gab es nur bei Angehörigen des Kaiserhauses.

Philosophie

Jacques Derrida führte die Iteration in der Sprache der Philosophie ein. ^[1] „Iteration“ ist hier die Wiederholung eines Begriffs im philosophischen und gesellschaftlichen Diskurs. Laut Derrida Verändert sich mit Jeder Wiederholung ( „Iteration“) Eines Begriffs seine bedeutung, so that niemals Same bedeutung reproduziert Wird Wie beim vorausgehenden Gebrauch des Begriffs. Jede Iteration hasse vielmehr eine Variation der Bedeutung zur Folge, die dem eigentlichen Begriff etwas hinzufügt und ihm bereichert. Eine definitive Definition von Begriffen, auf der man ihre Bedeutung zurückführen kann, kann sie demnach nicht geben.

Bauökonomie

In der Bauökonomie ist einer der meistverkauften Prozesse der nächsten Jahre. ^[2]

Baustelle

In der Konstruktionslehre spricht man von vorgehen iterativen , Teilweise auch von iterativem Suchen , , ideal zur Lösungsfindung so vorgegangen Wurde that ausgehend von Einem Eingebung Dezember Konstrukteurs stirbt Lösung schrittweise verbessert Wird. ^[3]

Management

Im Management ist Iteration eine Vorgehensweise, mit Ungenauigkeiten und Überraschungen in komplexen Situationen. Bei Projekten von Wirkung von Handlungen nicht immer prognostizierbar. Jedes Veränderungsmanagementals „großen Plan“ mit unverrückbaren Ziel aufzufassen, Führt im meisten Fall zu Überraschungen, auf sterben sterben Pläne und Umsetzer nicht prepared Sind. Das Bedeutende nicht, Platane aufzugeben, Sondern sich im eigenen vorgehen immer nur vorläufig sicher zu sein. Linear-kausales Projektdenken wird durch iteratives Vorgehenabrupt: Durch Vorastasten, Interessen und Machtkonstellationen wird nach und Unklarheit aufgebaut, Aktzeptanz erreicht, Wirkung erzeugt und Routine etabliert. Die Reihenfolge der Themen und Inhalte ergibt sich erst im Lauf der Veränderung. „Ein iterativer Prozess von anfänglicher Interpretation und Design, Implementierung und Improvisation, Lernen aus Veränderungsbemühungen und anschließendes Teilen dieses Lernens im gesamten System, was zu einer ständigen Neuinterpretation und Neugestaltung der Veränderung nach Bedarf führt.“ (Anthony F. Buono / Kenneth W .Kerber: Aufbau organisatorischer Änderungskapazität). ^[4]

Einzelstunden

1. Hochspringen↑ Jacques Derrida, „Signatur Ereignis Kontext“ in: Peter Engelmann (Hrsg.): Randgänge der Philosophie , Passagen, Wien 1988. Siehe auch Jacques Derrida: Begrenzte Inc. , Passagen, Wien 2001. obschon Derrida den Begriff popularisiert Hass, Hass schon Edmund Husserl der Begriff (mehr oder weniger terminologisch) verwöhnt: bsplw. in den Vorlesungen, Phänomenologie des Inneren Zeitbewuststeins„Die zeitkonstituierende Continuum ist ein Fluß Dichtung Erzeugung einge von Modifikationen und Modifikationen. Vom current Jetzt aus, die jeweiligen Urimpression u, geht stirbt Modifikationen im Sinne von Iteration, aber Stetig vorwärts, Sie ist nicht nur Modifikationen in Beziehung auf u, Sondern Auch die Reihe nach Modifikationen voneinander in der reihenfolge, in der sie Verlauf. „( S. 451, Online Bibel der Uni Freiburg )
2. Hochspringen↑ Robert Fischer, Peter Schwer: Modul für das Haus der Zukunft , VDF Hochschulverlag AG an der ETH Zürich und Interact Verlag, Hochschule Luzern, Luzern 2009, S. 14, Online bei Google Bücher , ISBN 978-3-7281-3286- 4 (VDF) bzw. ISBN 978-3-906413-72-3 (interagieren)
3. Hochspringen↑ Markus Burger, Michael Dambacher, uA:. Konstruktionslehre – Maschinenbau , Verlag Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 2009, S. 11, http://www.fs-fachbuch.at/images/products/14009-1.pdf , ISBN 978-3-8085-1400-9
4. Hochspringen↑ http://www.iff.ac.at/oe/full_papers/Buono%20Antony%20F._Kerber%20Kenneth%20W.pdf